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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 24

Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos z de uma espira da hélice circular uniforme:

r ( t ) → = 2 cos ⁡ t i → + 2   s e n   t   j → + t k →

Passo 1

A gente vai ter que calcular a seguinte integral aqui:

∫ a b K   x 2 + y 2   d s

Porque a densidade é uniforme, e usamos a distância do eixo z ao quadrado.

Aqui a gente já tem a região parametrizada. Vamos derivar essa parametrização:

r ' ( t ) → = ( - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t ,   1 )

Essa região é circular, então o intervalo de t é 0 ,   2 π .

Agora a gente faz a norma dessa derivada, que é o nosso d s da fórmula.

d s = - 2   s e n t   2 + 2 cos ⁡ t 2 + 1 2 d t

d s = 4   s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t + 1   d t

d s = 4 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + 1   d t

d s = 4 + 1 = 5   d t

Passo 2

Beleza, agora a gente monta a integral:

I = ∫ 0 2 π K ( 4 cos 2 ⁡ t + 4 s e n 2 t )   ( 5   d t )

= 5 K   ∫ 0 2 π 4 ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t )   d t

= 5 K   ∫ 0 2 π 4   d t  

= 5 K 4 2 π

= 8 5 π K

Prontinho! Esse é o momento de inércia pedido😉

Resposta

8 5 π K

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