Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f(t) = e^(-t) * cos(t), t ∈ [0, 2π]

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' t = - e - t cos ⁡ t + e - t . - s e n   t = e - t ( - cos ⁡ t - s e n   t )

f ' ' t = - e - t ( - cos ⁡ t - s e n   t ) + e - t ( s e n   t - cos ⁡ t ) = 2 e - t   s e n   t

Fazendo f ' ' t > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

2 e - t   s e n   t > 0

Se s e n   t > 0 ⇒ t ∈ 0 , π ⇒ f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   0 , π

Se s e n   t < 0 ⇒ t ∈ π ,   2 π ⇒ f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   [ π , 2 π ]  

Passo 2

No ponto t = π a função muda sua concavidade, logo este é um ponto de inflexão.

π , f π = ( π , - e - π )   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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