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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 48

Seja f x = x n , onde n é um inteiro positivo. Prove que o gráfico de f terá um ponto de inflexão na origem se e somente se n for um inteiro ímpar e n > 1 . Além disso, mostre que se n for par, f terá um valor mínimo relativo em 0 .

Passo 1

Vamos começar provando que o gráfico terá ponto de inflexão na origem se e somente se n for um inteiro ímpar e n > 1 .   Sabemos que:

f ' x = n x n - 1                         f ' ' x = n n - 1 x n - 2

Suponha que n é um número inteiro ímpar maior que 1, então n - 1 > 0 e f ' ( 0 ) existe, pois f ' x = n x n - 1 . Portanto o gráfico de f tem uma reta tangente em x = 0 . Além disso, como n ≥ 3 , então n n - 1 > 0 . Como n - 2 também é um inteiro ímpar, então x n - 2 < 0 se x < 0 e x n - 2 > 0 se x > 0 .

Portanto f ' ' x < 0 se x < 0 e f ' ' x > 0 se x > 0 e, dessa forma, o gráfico de f tem um ponto de inflexão na origem.

Passo 2

Agora vamos provar que se n é par, f terá um valor mínimo relativo em 0 . Sabemos que:

f ' x = n x n - 1                         f ' ' x = n n - 1 x n - 2

Suponha que n seja um número inteiro par. Como n é positivo f é contínua em x = 0 . Além disso, n ≥ 2 e então n n - 1 > 0 . Como n - 1 é um número inteiro ímpar, x n - 1 < 0 se x < 0 e x n - 1 > 0 se x > 0 .

Portanto f ' x < 0 se x < 0 e f ' x > 0 se x > 0 e então f tem um valor mínimo relativo em x = 0 .

Se n = 1 , então f x = 1 e o gráfico de f é uma reta horizontal. Portanto, o gráfico de f tem um ponto de inflexão na origem se e somente se n for ímpar e n > 1 e f terá um valor mínimo relativo em 0 se n for par.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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