Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f(x) = -x^3 + 5x^2 - 5x

Passo 1

Então meu amigo, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja vem, aqui queremos determinar os pontos de inflexão da função:

f x = - x 3 + 5 x 2 - 5 x

E também queremos encontrar os intervalos onde a função tem sua concavidade para cima e para baixo. Para isso devemos tomar conhecimento de que:

  • Se f ' ' x > 0 para todo x em I , então o gráfico de f é concavo para cima em I .
  • Se f ' ' x < 0 para todo x em I , então o gráfico de f é concavo para baixo em I .

Um ponto P da curva y = f x é chamado de ponto de inflexão se f é continua no ponto e a curva mudar de concava para cima para concava para baixo ou vice-versa em P .

Passo 2

Vamos então calcular a segunda derivada.

Primeiro, calculamos a primeira derivada de f x :

f ' x = - 3 x 2 + 10 x - 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada:

f ' ' x = - 6 x + 10

Passo 3

Para que o gráfico seja concavo para cima, deveremos ter f ' ' x > 0 , então vamos atrás desse intervalo:

- 6 x + 10 > 0

10 > 6 x

10 6 > x

Finalmente:

5 3 > x

Então temos que nesse intervalo, a concavidade da função f x é para cima.

Agora vamos descobrir a concavidade para baixo. Para isso queremos:

f ' ' x < 0

- 6 x + 10 < 0

10 < 6 x

10 6 < x

Finalmente:

5 3 < x

Onde a nossa concavidade agora é para baixo. Como a nossa concavidade muda no ponto x = 5 3 , ele é um ponto de inflexão da nossa função.

Com o gráfico abaixo visualizamos o que fizemos:

Resposta

5 3 < x concavidade para baixo

5 3 > x concavidade para cima

x = 5 3 ponto de inflexão

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