Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14a

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Passo 1

Então meu amigo, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja vem, aqui queremos determinar os pontos de inflexão da função:

E também queremos encontrar os intervalos onde a função tem sua concavidade para cima e para baixo. Para isso devemos tomar conhecimento de que:

Se para todo em , então o gráfico de é concavo para cima em .
Se para todo em , então o gráfico de é concavo para baixo em .

Um ponto da curva é chamado de ponto de inflexão se é continua no ponto e a curva mudar de concava para cima para concava para baixo ou vice-versa em .

Passo 2

Vamos então calcular a segunda derivada.

Primeiro, calculamos a primeira derivada de :

Em seguida, calculamos a segunda derivada:

Passo 3

Para que o gráfico seja concavo para cima, deveremos ter , então vamos atrás desse intervalo:

Finalmente:

Então temos que nesse intervalo, a concavidade da função é para cima.

Agora vamos descobrir a concavidade para baixo. Para isso queremos:

Finalmente:

Onde a nossa concavidade agora é para baixo. Como a nossa concavidade muda no ponto , ele é um ponto de inflexão da nossa função.

Com o gráfico abaixo visualizamos o que fizemos:

Resposta

concavidade para baixo

concavidade para cima

ponto de inflexão

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53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.54. b) Se f e g forem côncavas para cima em um intervalo, então f .

45. a) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≤ x se x ≥ 0 .b) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≥ x - 1 2 x 2 se x ≥ 0 .c) Confirme as desigualdades em a) e b) com um recurso gráfico.

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