45. a) Mostre que se .

b) Mostre que se .

c) Confirme as desigualdades em a) e b) com um recurso gráfico.

Para o primeiro caso:

Isso só acontece se , uma vez que:

E para o segundo caso:

Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, se .

b) Assim como na letra a), aqui temos o seguinte:

Para temos que o lado esquerdo da inequação da zero mesmo, então a igualdade não precisamos provar. No entanto, quanto à crescência teremos que utilizar o conceito de derivada primeira. A derivada primeira irá nos fornecer a prova necessária para demonstrar que, de fato, a função que escrevemos só é crescente quando . Sendo assim, derivando:

Agora o que devemos fazer é analisar os dois casos possíveis, que é para e para , então bora lá!

Para o primeiro caso:

E para o segundo caso:

Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, se .

c) Então galera, se plotarmos os gráficos das funções da letra a), ou seja:

Teremos:

No qual a função em vermelho é e a função em azul é . Pelo gráfico conseguimos notar que para a função é maior do que .

Agora plotando os gráficos da letra b):

Teremos:

No qual a função em vermelhor é e a função em azul e . Pelo gráfico também conseguimos notar que para a função é maior do que . Uma ressalva é que isso não ocorre para , como podemos notar.

E essa é a nossa análise da questão, pessoal!