Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom...Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível.

Uma dica importante que eu dou: só use a regra de L’Hospital se ela realmente simplificar o seu problema, ela é uma regra fantástica que faz você se apaixonar, mas se viciar nela é um problema!

Lembrando que a Regra de L’Hospital é aplicada somente quando houver limites indeterminados de funções.

Em outras palavras, essa regra é aplicada quando o limite resultar em algo do tipo:

0 0 e ∞ ∞

Assim, deveremos derivar o numerador e o denominador do limite para proceder com a resolução do limite.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Note que para esse limite temos uma indeterminação do tipo 1 ∞ : precisamos brincar um pouco com o limite antes de pensar em usar a regra de L’Hospital!!!

Como y = e ln ⁡ y , temos que

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x

Assim, o limite que nos interessa é

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2

Observe que esse limite é indeterminado do tipo 0/0, assim podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivando tanto o numerador como o denominador:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 = lim x → 0 + ⁡ - s e n   x / cos ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ - 1 2 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 + ⁡ s e n   x x

Como lim x → 0 + ⁡ s e n   x x = 1 , segue que

lim x → 0 + ⁡ - 1 2 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 + ⁡ s e n   x x = - 1 2

Assim,

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e - 1 / 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e - 1 / 2

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