Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 78
Se um objeto de massa é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade após segundos, levando-se em conta a resistência do ar, é
em que é a aceleração da gravidade e é uma constante positiva. (No capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto.)
a) Calcule . Qual o significado desse limite?
b) Para um valor fixo de , use a regra de L’Hospital para calcular . O que você pode concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo?
Passo 1
Opa, bora pra mais uma questão?! O enunciado forneceu uma expressão para a velocidade de um objeto caindo sob influência da resistência do ar:
Onde é a aceleração da gravidade e é uma constante positiva que tem relação com a resistência do ar. E em cima disso ele pede duas coisas:
No item (a), queremos saber a velocidade do objeto para tempos muito longos, quando e no item (b) a velocidade do objeto caindo quando , ou seja, no vácuo.
Resumindo queremos:
E:
Passo 2
Para responder a letra (a) vamos considerar e constantes maiores que zero, então:
Assim:
Desta forma, para tempos de queda muito longos, a velocidade satura nesse valor: ela não cresce indefinidamente.
Passo 3
Pra responder a letra (b) vamos considerar o tempo como uma constante, ok?! Assim temos:
Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital:
Derivando, temos:
Aplicando:
Assim, para , , que é o resultado obtido para queda livre: desprezando o termo devido a resistência do ar na expressão dada, retomamos o resultado clássico para queda livre.
Resposta
a)
b)