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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 28

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 + ⁡ x 3 x 4 + ln ⁡ x

Passo 1

Agora vamos substituir x = 0 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 0 3 0 4 + ln ⁡ 0

Assim,

L = 0 0

Como caímos numa indeterminação, vamos dar uma mexida no nosso limite. A ideia aqui vai ser a seguinte:

y = x 3 x 4 + ln ⁡ x

Na esmagadora maioria das vezes vamos aplicar l n quando tivermos uma expressão de jeitão dessa aí de cima. Logo,

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 x 4 + ln ⁡ x

Como ln ⁡ a b = b ln ⁡ a :

ln ⁡ y = 3 x 4 + ln ⁡ x ln ⁡ x

Logo,

y = e 3 x 4 + ln ⁡ x ln ⁡ x

Passo 2

Agora que já reescrevemos nossa expressão, vamos voltar para o limite!

L = lim x → 0 + ⁡ e 3 ln ⁡ x x 4 + ln ⁡ x

Repare que basta calcularmos o seguinte:

L = e l i m x → 0 + 3 ln ⁡ x x 4 + ln ⁡ x

Então bora ver como fica esse expoente.

L 2 = l i m x → 0 + 3 ln ⁡ x x 4 + ln ⁡ x

Se fizermos x = 0 + :

L 2 = 3 ln ⁡ 0 + 0 4 + ln ⁡ 0 +

Logo,

L 2 = 3 × - ∞ - ∞ → L 2 = ∞ ∞

Repare que agora caímos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L 2 = l i m x → 0 + 3 ln ⁡ x x 4 + ln ⁡ x

Derivando,

L 2 = l i m x → 0 + 3 × 1 x 4 × x 3 + 1 x

Organizando a expressão:

L 2 = l i m x → 0 + 3 4 x 4 + 1

Agora é só fazer x = 0 + e correr pro abraço!

L 2 = 3 4 × 0 4 + 1

Logo,

L 2 = 3

Cuidado, pois ainda temos que voltar para o limite L .

L = e L 2

Portanto,

L = e 3

Resposta

L = e 3

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