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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 6

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x - 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = - 1 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = - 1 + 1 2 × - 1 4 + 2 × - 1 3 + 3 × - 1 2 + 2 × - 1 - 1

Fazendo as contas:

L = 0 2 - 2 + 3 - 2 - 1

Logo,

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

L = lim x → - 1 ⁡   x + 1 2 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x - 1

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → - 1 ⁡   1 4 × 2 x 3 + 3 × 2 x 2 + 2 × 3 x + 2

Assim,

L = lim x → - 1 ⁡   1 8 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 2

Se fizermos x = - 1   :

L = 1 8 × - 1 3 + 6 × - 1 2 + 6 × - 1 + 2

Simplificando:

L = 1 - 8 + 6 - 6 + 2

Portanto,

L = - 1 6

Resposta

lim x → - 1 ⁡   x + 1 2 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x - 1 = - 1 6

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Calculeb) underset(x - 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x)
Calculen) underset(x - + oo)(lim) x^3 e^(- 4 x)
Calculei) underset(x - 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x]
Calculed) underset(x - + oo)(lim) (e^(3 x))/(x^2)
Calculeq) underset(x - + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x