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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 25

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x

Passo 1

Nesses limites com número de Neper, o e , o que a gente tem que buscar é formar esse limite fundamental aqui:

lim x → 0 ⁡ e t - 1 t = 1

Então vamos tentar forçar que ele apareça!

Passo 2

Olha a mágica que dá pra fazer aqui: vamos somar e subtrair 1 lá no numerador, desse jeito aqui:

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x = lim x → 0 ⁡ e - a x - 1 - e - b x + 1 x

Agora, separando os limites:

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x = lim x → 0 ⁡ e - a x - 1 x - lim x → 0 ⁡ e - b x - 1 x

Já temos quase o queremos. Pra ficar igual ao fundamental, vamos multiplicar a primeira parcela por - a em cima e embaixo, e na segunda, multiplicamos por - b .

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x = - a lim x → 0 ⁡ e - a x - 1 - a x - ( - b ) lim x → 0 ⁡ e - b x - 1 - b x

Agora sim são os fundamentais!

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x = - a + b

Fechou!

Resposta

lim x → 0 ⁡ e - a x - e - b x x = - a + b

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