Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 21
Uma pista de atletismo de comprimento total de consiste de semicírculos e dois segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.
Passo 1
Inicialmente ele nos disse que a o comprimento total da pista é de . Assim, temos o seguinte:
Logo,
Isolando :
Beleza, mas ele quer saber sobre a área retangular máxima. Se olharmos apenas para o retângulo, temos o seguinte:
Substituindo na expressão da área:
Fazendo as contas:
Passo 2
Agora que já conseguimos expressar a área em função de apenas um parâmetro, vamos partir para maximizar essa área. Repare que é uma equação do segundo grau com coeficiente líder (o que acompanha negativo. Assim, teremos uma curva com concavidade para cima. Então basta derivarmos e igualarmos a zero que já acharemos o ponto de máximo.
Derivando,
Igualando a zero:
Portanto,
Passo 3
Voltando na equação :
Como :
Dessa forma, vemos que as dimensões da pista serão:
e