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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 27

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x s e n a x - s e n b x

Passo 1

Nesses limites com número de Neper, o e , o que a gente tem que buscar é formar esse limite fundamental aqui:

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t = 1

Então vamos tentar forçar que ele apareça!

Além dele, vamos ter que brincar com o fundamental do seno:

lim t → 0 ⁡ s e n ( t ) t = 1

Passo 2

Olha a mágica que dá pra fazer aqui: vamos multiplicar por x em cima e embaixo, e separar os limites.

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x s e n a x - s e n b x = lim x → 0 ⁡ e a x - e b x x × lim x → 0 ⁡ x s e n a x - s e n b x

Vamos resolver cada um deles. O primeiro parece com o da questão 25 , então vamos fazer igualzinho. Somando e subtraindo 1 no numerador:

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x x = lim x → 0 ⁡ e a x - 1 - e b x + 1 x

Agora, separando os limites:

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x x = lim x → 0 ⁡ e a x - 1 x - lim x → 0 ⁡ e b x - 1 x

Já temos quase o queremos. Pra ficar igual ao fundamental, vamos multiplicar a primeira parcela por a em cima e embaixo, e na segunda, multiplicamos por b .

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x x = a lim x → 0 ⁡ e a x - 1 a x - b lim x → 0 ⁡ e b x - 1 b x

Agora sim são os fundamentais!

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x x = a - b

Passo 3

Agora vamos resolver o segundo limite. Vamos começar transformando essa diferença de senos em produto, com a fórmula de Prostaferese.

s e n p - s e n q = 2 cos ⁡ p + q 2 s e n p - q 2

Aplicando lá no nosso limite:

lim x → 0 ⁡ x s e n a x - s e n b x = lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ a x + b x 2 s e n a x - b x 2

Podemos separar assim, pra aparecer o fundamental:

lim x → 0 ⁡ x s e n a x - s e n b x = 1 2 lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ a + b x 2 × lim x → 0 ⁡ x s e n a - b x 2

O primeiro é só substituir, porque cos ⁡ 0 vale 1 . Pro segundo, vamos multiplicar em cima e embaixo por a - b 2 , pra fazer aparecer o fundamental.

lim x → 0 ⁡ x s e n a x - s e n b x = 1 2 × 1 × 1 a - b 2 × lim x → 0 ⁡ a - b 2 x s e n a - b x 2

Pronto, esse é o fundamental! Portanto,

lim x → 0 ⁡ x s e n a x - s e n b x = 1 a - b

Passo 4

Juntando tudo:

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x s e n a x - s e n b x = ( a - b ) × 1 a - b

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x s e n a x - s e n b x = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ e a x - e b x s e n a x - s e n b x = 1

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