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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 4

Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.

Passo 1

Seja dois números quaisquer que chamaremos de x e y . Queremos que:

x + y = 70

E que x . y seja o maior possível. Assim chamaremos de f a função que tem o produto de x e y . Temos que:

f = x y

Isolando y da soma e aplicando em f , temos:

x + y = 70 ⇒ y = 70 - x

f = x y ⇒ f = x 70 - x ⇒ f = 70 x - x 2

Passo 2

Como queremos o produto máximo, podemos maximizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x . Temos então que:

f ' = 70 - 2 x

f ' = 0 ⇒ 70 - 2 x = 0 ⇒ - 2 x = - 70 ⇒ x = 35

Passo 3

Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja f uma função derivável num intervalo ( a , b ) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' c = 0 ,   c o m   a < c < b . Se f admite a derivada f ' ' em ( a , b ) , temos:

  1. Se f ' ' c > 0   ,   f   t e m   u m   v a l o r   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   c .
  2. Se f ' ' c < 0 ,   f   t e m   u m   v a l o r   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   c .

Assim, calculando a segunda derivada de f , temos:

f ' ' =   - 2 ⇒ f ' ' 35 = - 2 < 0 ⇒ É   p o n t o   d e   m á x i m o

Logo, podemos afirmar que x = 35 é ponto de máximo.

Assim:

x + y = 70 ⇒ y = 70 - 35 ⇒ y = 35

Portanto os números que procuramos são:

x = 35   e   y = 35

Resposta

x = 35   e   y = 35

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