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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 5b

Determinar r o t vec f sendo:

vec f = 2 x^2 y vec i + 3 x z vec j - y vec k

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec f dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec f (x , y , z) = (f_1 , f_2 , f_3)

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec f = 2 x^2 y vec i + 3 x z vec j - y vec k

Então,

f_1 = 2 x^2 y

f_2 = 3 x z

f_3 = - y

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del f_3)/(del y) = (del (- y))/(del y) = - 1

(del f_2)/(del z) = (del (3 x z))/(del z) = 3 x

(del f_1)/(del z) = (del ( 2 x^2 y ))/(del z) = 0

(del f_3)/(del x) = (del ( - y ))/(del x) = 0

(del f_2)/(del x) = (del ( 3 x z ))/(del x) = 3 z

(del f_1)/(del y) = (del ( 2 x^2 y ))/(del y) = 2 x^2

Agora é só substituir!

r o t vec f = ( - 1 - 3 x ) vec i + (0 - 0) vec j + (3 z - 2 x^2) vec k

Arrumando,

r o t vec f = (- 3 x - 1) vec i + (3 z - 2 x^2) vec k

Acabamos!

Resposta

r o t vec f = (- 3 x - 1) vec i + (3 z - 2 x^2) vec k

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