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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4.c

4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

c) ∫ 0,1 , 1 1,0 , 1 ( 2 x y   d x + x 2   d y + 2   d z )

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = 2 x y

f 2 = x 2

f 3 = 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 2 x

∂ f 2 ∂ x = 2 x

∂ f 1 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ y = 0

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 2 x ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 0   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 0 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = 2 x y                 1

∂ u ∂ y = x 2                 2

∂ u ∂ z = 2                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ 2 x y   d x

u = x 2 y + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = x 2 + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = x 2 y + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 2

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = 2 z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x 2 y + 2 z + C

Por final, temos

∫ 0,1 , 1 1,0 , 1 2 x y   d x + x 2   d y + 2   d z = u 1,0 , 1 - u 0,1 , 1

= ( 1 2 × 0 + 2 × 1 + C ) - ( 0 2 × 1 + 2 × 1 + C )

= 2 + C - 2 - C

= 0

Resposta

0

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