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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 45

Determinar a derivada direcional da função dada:

f x , y = x 2 + y 2 , na direção da semi-reta y - x = 4 ,   x ≥ 0

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Como ele não deu diretamente que é o vetor v , temos que encontra-lo.

Passo 2

No enunciado ele nos diz que v possui a direção da semi-reta y - x = 4 ,   x ≥ 0 . Então vamos pegar dois pontos quaisquer dessa semi-reta e encontrar o vetor que liga esses pontos. Vem comigo!

Se x = 0 :

y - 0 = 4 → y = 4

Se x = 1 :

y - 1 = 4 → y = 5

Isso nos dá os pontos 0,4 e 1,5 ao longo da semi-reta. Então, podemos considerar o vetor v como:

v = 1,5 - 0,4

Portanto,

v = 1,1

Passo 3

Agora vamos achar o gradiente e f , vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ x 2 + y 2 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 2 x   i → + 2 y   j →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y = 2 x , 2 y

Passo 4

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v → v →

Substituindo com o que achamos nos passos anteriores:

∂ f ∂ v x , y = 2 x , 2 y ⋅ 1,1 1,1

Assim,

∂ f ∂ v x , y = 2 x , 2 y ⋅ 1,1 1 2 + 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v x , y = 2 x + 2 y 2

Racionalizando, temos:

∂ f ∂ v x , y = ( x + y ) 2

Resposta

∂ f ∂ v x , y = ( x + y ) 2

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