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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7d

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

grad xx vec g

Passo 1

A questão nos pede pra calcular grad xx vec g . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec g dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo vec g :

vec g (x , y , z) = g_1 (x , y , z) vec i + g_2 (x , y , z) vec j + g_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec g (x , y , z) = (g_1 , g_2 , g_3)

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[g_1,g_2,g_3]]| = ((del g_3)/(del y) - (del g_2)/(del z)) vec i + ((del g_1)/(del z) - (del g_3)/(del x)) vec j + ((del g_2)/(del x) - (del g_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec g = (x^2 , y^2 , z^2)

Então,

g_1 = x^2

g_2 = y^2

g_3 = z^2

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del g_3)/(del y) = (del ( z^2 ))/(del y) = 0

(del g_2)/(del z) = (del (y^2))/(del z) = 0

(del g_1)/(del z) = (del ( x^2 ))/(del z) = 0

(del g_3)/(del x) = (del ( z^2 ))/(del x) = 0

(del g_2)/(del x) = (del ( y^2 ))/(del x) = 0

(del g_1)/(del y) = (del ( x^2 ))/(del y) = 0

Como deu tudo 0 , o valor do rotacional também vai ser quando a gente substituir!

r o t vec g = 0

Acabamos!

Resposta

r o t vec g = 0

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