Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:

h) z = (x^2 + y^2) sen(x^2 + y^2); P(0,0)

Passo 1

O vetor gradiente é dado por:

∇ z = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

Então, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :

∂ z ∂ x = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 x + s e n   x 2 + y 2 ⋅ 2 x

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :

∂ z ∂ y = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 y + s e n   x 2 + y 2 ⋅ 2 y

Desse modo, temos o seguinte vetor gradiente:

∇ z = 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 + s e n   x 2 + y 2 ,   2 y [ x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 + s e n   x 2 + y 2 ]

Passo 2

Devemos agora, aplicar o ponto dado no vetor gradiente obtido.

Então, no ponto P 0 ,   0 , temos:

∇ z 0,0 = ( 0 ,   0 )

Resposta

∇ z 0 ,   0 = ( 0 ,   0 )

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