Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 9
Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole de tal forma que é uma constante positiva. Encontre o que se pede, quando a partícula está em : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes tangencial e normal da aceleração, e .
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição (página ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:
é o vetor posição;
é o vetor velocidade;
é o vetor aceleração;
Agora, para os vetores tangente e normal unitários, podemos encontrar as fórmulas na seção do mesmo livro e escrevê-las respectivamente como:
E:
Por fim, como o Teorema (página ) da seção nos dá a fórmula do vetor aceleração como:
Os coeficientes dos vetores tangente e normal unitários são definidos como componentes tangencial e normal da aceleração. Como a aceleração possui esses dois componentes que são perpendiculares entre si e formam um triângulo retângulo (observe a imagem abaixo), ela pode ser definida através do Teorema de Pitágoras:
Assim:
E, isolando a componente normal:
Tal que:
Passo 2
Dessa forma, para sabermos o vetor posição no ponto dado, basta substituir as coordenadas dele:
Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar a equação geral do vetor posição, tal que:
A derivada de pode ser calculada derivando a função da hipérbole, ou seja:
Reescrevendo:
E isolando a derivada de :
Então, a equação geral do vetor velocidade é:
E pode ser reescrito como:
Substituindo o ponto dado:
Passo 3
Da mesma forma, a aceleração vai ser calculada derivando duas vezes o vetor posição ou derivando o vetor velocidade. Logo, através da segunda opção, a derivada da velocidade é:
Como o enunciado nos diz que é uma constante, então a sua derivada é nula. Isso significa que a coordenada do vetor velocidade é zero. Já a coordenada desse vetor, pode ser encontrada derivando a equação que obtemos antes:
Substituindo :
Ou seja:
Ou:
Com isso, a equação geral do vetor aceleração vai ser dada por:
Substituindo as coordenadas do ponto:
Passo 4
Agora, para os vetores unitários, vamos determinar as variáveis antes de realizar o cálculo. Para o vetor tangente unitário, precisamos da equação de que encontramos antes:
E do seu módulo:
Tirando o fator comum:
Assim, a sua equação geral será:
Que pode ser reescrita como:
Substituindo os valores do ponto:
Então:
Passo 5
Para o vetor normal unitário, vamos utilizar a equação geral de , derivá-la e determinar o módulo dessa derivada. Então, com a equação:
Derivando cada componente desse vetor pela regra do quociente dada por:
Teremos:
Encontrando o mínimo múltiplo comum do numerador de ambas as coordenadas:
Ou ainda:
O módulo desse resultado será dado por:
Que pode ser reescrito como:
Então, o vetor normal unitário é:
E substituindo os valores de e :
Obtemos:
Ou seja:
Então:
Passo 6
Uma ideia para calcularmos a componente tangencial da aceleração, é aproveitar um resultado que obtivemos anteriormente. Como:
E:
Nós já sabemos o valor desse módulo, pois calculamos ele para a equação do vetor tangente unitário. Logo:
Se derivarmos essa equação, teremos:
Isso resulta em:
Assim, se substituirmos os valores do ponto, conseguimos:
Dessa forma:
Passo 7
Com esses resultados, torna-se possível fazermos o cálculo da outra componente. Como a componente normal é dada por:
Teremos:
Logo:
Tirando os fatores comuns:
Temos, então:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto:
Se multiplicarmos o numerador e denominador por :
Então: