Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 10
Uma partícula se move sobre a parábola da esquerda para a direita. Quando ela passa pelo ponto , sua velocidade é e vale . Ache: o vetor velocidade; o vetor aceleração nesse ponto.
Passo 1
E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D
Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., a Definição (página ) nos dá as fórmulas aplicadas ao movimento:
é o vetor posição;
é o vetor velocidade;
é o vetor aceleração;
Visto que os vetores velocidade e aceleração terão as formas:
E:
Vamos deixar as suas coordenadas em função de e para calcularmos os resultados dos vetores no ponto dado.
Como o enunciado dá a informação da velocidade e da sua derivada, podemos determinar o módulo do vetor velocidade para comparar os resultados. Fazendo isso, teremos:
Ou ainda:
Pelo enunciado:
A partir disso, iremos determinar para o cálculo do vetor velocidade.
Da mesma forma, para , precisamos derivar essa última equação encontrada, tal que:
Simplificando o termo semelhante:
E, pelo enunciado, este resultado será dado por:
Analogamente ao vetor velocidade, isso nos dará o valor de para calcular o vetor aceleração.
Passo 2
Então, primeiro vamos encontrar o vetor velocidade derivando a equação geral do vetor posição, tal que:
A derivada de pode ser calculada a partir da equação da parábola e será dada por:
Então, a equação geral do vetor velocidade é:
E, tirando o termo comum, pode ser reescrito como:
Mas o resultado ainda depende do valor de . Então, vamos determiná-lo a seguir.
Passo 3
Como dito no primeiro passo, a velocidade escalar é dada por:
Substituindo a derivada de que encontramos antes, temos:
Tal que:
Tirando o fator comum:
Então:
Logo, o valor que queremos é:
E podemos determinar o vetor velocidade no ponto dado:
Substituindo a coordenada do ponto :
Dessa forma:
Passo 4
Da mesma maneira, a aceleração vai ser calculada derivando duas vezes o vetor posição ou derivando o vetor velocidade. Logo, através da segunda opção, a derivada da velocidade é:
A coordenada desse vetor, pode ser encontrada derivando a equação que obtivemos antes:
Com isso, a equação geral do vetor aceleração vai ser dada por:
Só nos resta determinar o valor de . Vamos lá!!
Passo 5
Nesse passo, vamos aproveitar a informação dada pelo exercício que diz:
Agora, vamos calcular essa derivada que mostramos anteriormente como:
Substituindo os termos e :
Como já sabemos o valor de e no ponto de interesse, vamos substituir estes valores nessa última equação:
Isso nos dará:
Ou ainda:
Passo 6
Deixando apenas os termos com do lado esquerdo da equação, temos:
Juntando os termos:
Igualando o denominador do lado direito:
Assim, isolando a segunda derivada de em relação a :
Portanto:
Passo 7
Finalmente, poderemos determinar o vetor aceleração. Pela equação:
Vamos substituir a segunda derivada de :
E, então, substituir ambas as derivadas de e o valor de do ponto dado:
Então:
Isso nos dá:
Logo:
Caso se deseje confirmar o resultado, basta determinar o módulo desse vetor aceleração e verificar se o resultado é o mesmo dado pelo enunciado. Em outras palavras: