Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado.

r(t) = (2t, ln(t), 2) , P(2,0, 2)

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que r → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 . Vamos lá!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = 2 t , ln ⁡ t ,   2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva. Assim,

r ' → t = 2 , 1 t ,   0

Lembrete: ln ⁡ t ' = 1 t

Passo 2

Agora bora verificarmos qual é o ponto t 0 onde r → t 0 = P . Vem comigo!

r → t 0 = 2 t 0 , ln ⁡ t 0 ,   2

Como queremos p → t 0 = P :

2 t 0 , ln ⁡ t 0 ,   2 = 2,0 , 2

Pela coordenada x :

2 t 0 = 2 → t 0 = 1

Passo 3

Pra finalizar, basta verificarmos qual é o valor de r ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 1 .

r ' → t = 2 , 1 t ,   0

Assim,

r ' → 1 = 2 , 1 1 ,   0

Isto é,

r ' → 1 = 2 , 1 ,   0

Então, o vetor tangente à curva no ponto P será 2,1 , 0 .

Resposta

2,1 , 0

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