Seja F → : I → R 3 , I intervalo, derivável até 2ª ordem em I . Suponha que exista um real λ tal que, para todo t em I , d 2 F → d t 2 t = λF → t . Prove que F → t × d F → d t t é constante em I .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 4

Seja , intervalo, derivável até 2ª ordem em . Suponha que exista um real tal que, para todo em , . Prove que é constante em .

Passo 1

Queremos provar que é constante. Se derivarmos esse vetor e encontrarmos , podemos usar o exercício 3 como prova de que esse é um vetor constante em .

Derivando então

Usando a derivação do produto, que como provado nessa seção pode ser usado com o produto vetorial normalmente

Foi dado no enunciado que

Então

Passo 2

O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é , então

Como provamos no exercício 3, se a derivada de um vetor é o vetor nulo, então , sendo um vetor constante, então

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Um ponto de move no espaço de modo que v → t = k para todo t , onde k0 é uma constante. Prove que v → t ⋅ a → t = 0 para todo t . Interprete.

Suponha que r → : R → R 3 seja derivável até a 2ª ordem e que, para todo t ≥ 0 r → t = t Prove que, em [ 0 , + ∞ [ d r → d t ⋅ d r → d t = - r → ⋅ d 2 r → d t 2 Seja θ o ângulo entre r → e d 2 r → d t

Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o