Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 3
Mostrar que a curva definida por
Está sobre a esfera unitária com centro na origem. Determinar um vetor tangente a essa curva no ponto
Passo 1
Inicialmente ele nos pede para mostrar que a curva está sobre a esfera unitária com centro na origem. Que? Vamos com calma! A equação geral de uma esfera é a seguinte:
Como ela está centrada na origem, . Assim,
Quando ele diz que a esfera é unitária ele quer dizer que o raio é 1, isto é, .
Passo 2
Agora é só verificar se os pontos de satisfazem a equação acima!
Substituindo na equação :
Assim,
Passando o para o outro lado:
Simplificando,
Opa, mas isso é verdade, pois é a relação fundamental da trigonometria! Então quer dizer que a curva está realmente sobre a esfera.
Passo 3
A outra coisa que ele quer saber é o vetor tangente a curva no ponto . Para isso, vamos encontrar qual é o ponto da curva tal que , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto . Vamos lá!
A curva que ele nos deu foi a seguinte:
Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva. Assim,
Passo 4
Agora bora verificarmos qual é o ponto onde . Vem comigo!
Como queremos :
Pela coordenada :
Logo,
Olhando a coordenada :
Assim,
Com isso, vamos que .
Passo 5
Pra finalizar, basta verificarmos qual é o valor de no ponto , isto é, .
Assim,
Fazendo as contas:
Então, o vetor tangente à curva no ponto será .