Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 3

Mostrar que a curva definida por

f → t = 1 2 s e n t , 1 2 cos ⁡ t , 3 2

Está sobre a esfera unitária com centro na origem. Determinar um vetor tangente a essa curva no ponto P 0 , 1 2 , 3 2

Passo 1

Inicialmente ele nos pede para mostrar que a curva está sobre a esfera unitária com centro na origem. Que? Vamos com calma! A equação geral de uma esfera é a seguinte:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = R 2

Como ela está centrada na origem, x 0 = y 0 = z 0 = 0 . Assim,

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Quando ele diz que a esfera é unitária ele quer dizer que o raio é 1, isto é, R = 1 .

x 2 + y 2 + z 2 = 1     ( i )

Passo 2

Agora é só verificar se os pontos de f satisfazem a equação acima!

f → t = 1 2 s e n t , 1 2 cos ⁡ t , 3 2

Substituindo na equação i :

1 2 s e n t 2 + 1 2 cos ⁡ t 2   + 3 2 2 = 1

Assim,

1 4 s e n 2 t + 1 4 cos 2 ⁡ t + 3 4 = 1

Passando o 3 / 4 para o outro lado:

1 4 s e n 2 t + 1 4 cos 2 ⁡ t = 1 4

Simplificando,

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Opa, mas isso é verdade, pois é a relação fundamental da trigonometria! Então quer dizer que a curva está realmente sobre a esfera.

Passo 3

A outra coisa que ele quer saber é o vetor tangente a curva no ponto P . Para isso, vamos encontrar qual é o ponto da curva tal que f → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 . Vamos lá!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

f → t = 1 2 s e n t , 1 2 cos ⁡ t , 3 2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva. Assim,

f ' → t = 1 2 c o s t , - 1 2 s e n t , 0

Passo 4

Agora bora verificarmos qual é o ponto t 0 onde f → t 0 = P . Vem comigo!

f → t 0 = 1 2 s e n t 0 , 1 2 cos ⁡ t 0 , 3 2

Como queremos f → t 0 = P :

1 2 s e n t 0 , 1 2 cos ⁡ t 0 , 3 2 = 0 , 1 2 , 3 2

Pela coordenada x :

1 2 s e n t 0 = 0

Logo,

s e n t 0 = 0 → t 0 = 0   o u   π

Olhando a coordenada y :

1 2 cos ⁡ t = 1 2

Assim,

cos ⁡ t = 1 → t 0 = 0

Com isso, vamos que t 0 = 0 .

Passo 5

Pra finalizar, basta verificarmos qual é o valor de f ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 0 .

f ' → t = 1 2 c o s t , - 1 2 s e n t , 0

Assim,

f ' → 0 = 1 2 c o s 0 , - 1 2 s e n 0 , 0

Fazendo as contas:

f ' → 0 = 1 2 , 0,0

Então, o vetor tangente à curva no ponto P será 1 2 , 0,0 .

Resposta

1 2 , 0,0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine vec r = vec r (t) sabendo que(d vec r)/(d t) = sen t vec i + cos 2 t vec j + (1)/(t + 1) vec k , t = 0 e vec r (0) = vec i - vec j + 2 vec k
Seja r → definida em R , com valores em R 3 e derivável até segunda ordem. Prove que se r → t × d r → d t t for constante em R , então r → t × d 2 r → d t 2 t = 0 → em R .
Seja F : I → R n derivável em t 0 ∈ I e seja E Δ t o erro que se comete na aproximação do acréscimo “ F t 0 + Δ t - F t 0 ” por “ F ' t 0 Δ t ”. Prove que E ( Δ t ) tende a 0 → mais rapidamente que Δ
Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = root(3)(t^2) vec i + cos t^2 vec j + 3 t vec k
Seja F definida no intervalo I e com valores em R n . Suponha que F ' t = 0 → para todo t em I . Prove que existe uma constante k = k 1 , k 2 , … , k n ∈ R n tal que F t = k para todo t em I .