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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 65

Determine D y // D x d e x^y = y^x

Passo 1

Bom, para resolver precisamos primeiro lembrar que a derivada de a^x é e^(l n a^x) que é o mesmo que e^(x l n ( a )) . Assim, podemos escrever x^y e y^x respectivamente como:

x^y = e^(y l n ( x ))

y^x = e^(x l n ( y ))

Agora, substituímos na equação dada e em seguida vamos encontrar (d y)/(d x) que foi solicitado no enunciado. Então vamos lá:

x^y = y^x

e^(y l n (x)) = e^(x l n (y))

(d)/(d x) e^(y l n (x)) = (d)/(d x) e^(x l n (y))

Vamos realizar os cálculos separadamente para facilitar , beleza?

Passo 2

Vamos encontrar primeiro (d)/(d x) e^(y l n (x)) para isso podemos utilizar a regra da cadeia, façamos:

(d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) . (d u)/(d x)

Considere f = e^u e u = y l n ( x )

(d)/(d u) e^u . = e^u

(d)/(d x) y l n (x) = ln (x) (d y)/(d x) + (y)/(x)

Substituindo u = y l n ( x ) encontramos e , vamos escrever (d y)/(d x) como y’. ok?

(d f ( u ))/(d x) = e^(y l n ( x )) . (ln (x) y ' + (y)/(x))

Agora, sabendo que e^(y l n (x)) = x^y fazemos a substituição:

(d f ( u ))/(d x) = x^y . (ln (x) y ' + (y)/(x))

Passo 3

De modo semelhante vamos resolver (d)/(d x) e^(x l n (y)) . Vamos utilizar novamente a regra da cadeia, considerando agora f = e^u e u = x l n ( y ) . Assim, temos:

(d)/(d u) e^u . = e^u

(d)/(d x) x l n (y) = ln (y) + (x (d y)/(d x))/(y)

Substituindo u = x l n ( y ) encontramos:

(d f ( u ))/(d x) = e^(x l n ( y )) . (ln (y) + (x (d y)/(d x))/(y))

Agora, sabendo que e^(x l n (y)) = y^x fazemos a substituição:

(d f ( u ))/(d x) = y^x . (ln (y) + (x (d y)/(d x))/(y))

Por conveniência, vamos escrever (d y)/(d x) como y’. ok?

(d f ( u ))/(d x) = y^x . (ln (y) + (x y ')/(y))

Encontramos as derivadas separadamente, agora voltaremos para equação dada:

Passo 4

O comando da questão pedia para encontrar D y // D x d e x^y = y^x . Como derivamos separadamente cada lada da equação, agora vamos substituir os valores encontrados para encontrar (d y)/(d x) que nos foi solicitado. Beleza?

x^y . (ln (x) y ' + (y)/(x)) = y^x . (ln (y) + (x y ')/(y))

Vamos aplicar a distributividade:

y^' . x^y . ln (x) + (y)/(x) . x^y = y^x . ln (y) + (x y ')/(y) . y^x

Observe que podemos escrever, utilizando as propriedades de potências de mesma base

(y)/(x) . x^y = y. x^(y - 1)

(x y ')/(y) . y^x = x y^' . y^(x - 1)

Substituindo na equação acima, temos:

y^' . x^y . ln (x) + y . x^(y - 1) = y^x . ln (y) + x y^' . y^(x - 1)

y^' . x^y . ln (x) = y^x . ln (y) + x y^' . y^(x - 1) - y . x^(y - 1)

y^' . x^y . ln (x) - x y^' . y^(x - 1) = y^x . ln (y) - y . x^(y - 1)

Colocando y’ em evidência, temos:

y^' . ( x^y . ln (x) - x . y^(x - 1) ) = y^x . ln (y) - y . x^(y - 1)

y^' . = (y^x . ln (y) - y . x^(y - 1))/(x^y . ln (x) - x . y^(x - 1))

Agora, reescrevemos na forma de (d y)/(d x)

(d y)/(d x) = (y^x . ln (y) - y . x^(y - 1))/(x^y . ln (x) - x . y^(x - 1))

Resposta

(d y)/(d x) = (y^x . ln (y) - y . x^(y - 1))/(x^y . ln (x) - x . y^(x - 1))

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Sejam f e g deriváveis em A , com f x0 em A . Verifique que, para todo x em A , f x g x ' = f x g xg ' x ln ⁡ f x + g xf x g x - 1f ' x