Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 13
Use a parte 1 do teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função:
Passo 1
Opa! Blz?
Eu sei que quando vemos uma função assim já pensamos no terror que vai ser resolver, mas vem comigo que vai ser tranquilo!
O problema pede a derivada da seguinte integral:
E aqui não tem segredo, vamos aplicar o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo) que nos diz:
Quando você deriva uma integral, a função que você está procurando é basicamente a mesma que estava dentro da integral, mas avaliada no limite superior. Imagine que a integral e a derivada são como irmãs gêmeas. É como se elas se completassem! Como a multiplicação e a divisão!
Dessa forma podemos escrever:
Então:
Nesse problema temos mais um detalhe super importante, nosso limite superior não é apenas uma variável, mas sim uma função , então teremos uma função composta, e lembra como derivamos uma função composta? Regra da Cadeia!!
“A derivada de fora vezes a derivada de dentro”, foi essa frase que eu repetia para decorar a regra.
Por fim a única regra de derivada que precisamos lembrar é:
Agora sim temos tudo para resolver essa questão!
Passo 2
Bom, temos a seguinte função:
Aplicando a parte 1 do TFC, que vimos no passo 1, nossa derivada será:
Porém é uma função:
Podemos derivar aplicando a regra, vamos reescrever a função para ficar mais claro:
Agora aplicando a regra da cadeia:
Vamos só deixar a cara da nossa derivada mais amigável:
Prontinhoo!