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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 50

Determine o limite

underset(x -> oo)(lim) (x^((2)/(3)) + x^(- 1))/(x^((2)/(3)) + c o s^2 x)

Passo 1

Para descobrir o limite, devemos perceber que a substituição de x por oo resultará em uma indeterminação. Logo, devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

Passo 2

underset(x -> oo)(lim) (x^((2)/(3)) + x^(- 1))/(x^((2)/(3)) + c o s^2 x) * ((1)/(x^((2)/(3))))/((1)/(x^((2)/(3))))

underset(x -> oo)(lim) ((x^((2)/(3)))/(x^((2)/(3))) + (x^(- 1))/(x^((2)/(3))))/((x^((2)/(3)))/(x^((2)/(3))) + (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))))

(underset(x -> oo)(l i m) (x^((2)/(3)))/(x^((2)/(3))) + underset(x -> oo)(l i m) (x^(- 1))/(x^((2)/(3))))/(underset(x -> oo)(l i m) (x^((2)/(3)))/(x^((2)/(3))) + underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))))

(1 + underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((5)/(3))))/(1 + underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))))

(1 + 0)/(1 + underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))))

Passo 3

Para resolver underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3)))

devemos notar que 0 <= c o s^2 x <= 1 e que underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) = 0

Logo,

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) * ( 0 ) <= underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))) <= underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x x^((2)/(3))) * 1

0 * 0 <= underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))) <= 0 * 1

0 <= underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3))) <= 0

Passo 4

Sabendo o valor de underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3)))

(1 + 0)/(1 + underset(x -> oo)(l i m) (c o s^2 x)/(x^((2)/(3)))) = (1 + 0)/(1 + 0) = 1

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (x^((2)/(3)) + x^(- 1))/(x^((2)/(3)) + c o s^2 x) = 1

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