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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 54

Determine o limite

underset(tau -> - oo)(lim) e^(3 tau) * s e n^(- 1) (1)/(tau)

Passo 1

Para encontrar o limite, devemos aplicar a propriedade do limite

underset(tau -> - oo)(l i m) e^(3 tau) * underset(tau -> - oo)(l i m) s e n^(- 1) ((1)/(tau))

Passo 2

Para determinar underset(tau -> - oo)(l i m) e^(3 tau) , devemos notar que tau tende a um valor negativo. Logo, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

underset(tau -> oo)(l i m) (1)/(e^(3 tau))

Resolvendo o limite:

(1)/(e^(3 * oo)) = (1)/(oo) = 0

Passo 3

Para determinar underset(tau -> - oo)(l i m) s e n^(- 1) ((1)/(tau)) , devemos saber que s e n^(- 1) ((1)/(tau)) = a r c s e n ((1)/(tau))

Considerando underset(tau -> mu)(lim) sen^(- 1) ((1)/(tau)) = y

Podemos afirmar que

underset(theta -> y)(lim) s e n ( theta ) = (1)/(mu)

Logo, se mu = - oo

underset(theta -> y)(lim) s e n ( theta ) = 0

Para isso acontecer, gamma deve ser igual a 0 (caso 1) ou igual a pi (caso 2).

Passo 4

Analisando os dois casos,

Caso 1:

underset(tau -> - oo)(l i m) e^(3 tau) * underset(tau -> - oo)(l i m) s e n^(- 1) ((1)/(tau))

0 * 0 = 0

Caso 2:

underset(tau -> - oo)(l i m) e^(3 tau) * underset(tau -> - oo)(l i m) s e n^(- 1) ((1)/(tau))

0 * pi = 0

Portanto, podemos afirmar que

underset(tau -> - oo)(lim) e^(3 tau) * s e n^(- 1) (1)/(tau) = 0

Resposta

underset(tau -> - oo)(lim) e^(3 tau) * s e n^(- 1) (1)/(tau) = 0

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