Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 47
O custo da produção de quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é dólares.
- Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
- O que significa ?
- Você acha que os valores de vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.
Passo 1
E aí pessoal, tranquilidade?
Essa questão aqui é beeem conceitual, a gente não vai precisar fazer nenhuma conta! Entender os conceitos é tão importante quanto fazer as contas!
Nesse problema temos que o custo da produção de quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é dólares.
A partir daí queremos determinar qual o significado da derivada e quais são suas unidades. O que significa e explicar se achamos que os valores de vão crescer ou decrescer a curto prazo ou a longo prazo.
Dito isso, bora começar!
Passo 2
A derivada indica o quanto o custo de produção varia com relação ao quilograma de ouro .
Lembre-se: a derivada é uma relação sempre entre e sua variável ! A sua unidade, portanto, será .
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Analisando a expressão , sabemos que diz respeito à quantidade de ouro e é uma taxa de variação.
Logo, podemos concluir que é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em , após a produção de de ouro.
Bacana, não é? 👀
Passo 4
Bora raciocinar: inicialmente, ao descobrir a mina, ela vai ter muuuuito ouro, certo? Então cada operário consegue extrair uma quantidade absurda de ouro em pouco tempo, tendo um custo de produção por quilograma baixo.
Conforme o tempo vai passando e o ouro vai ficando mais escasso, você vai pagar o mesmo salário para um minerador, mesma quantidade de energia, equipamento e tudo mais por uma quantidade menor de ouro extraída do que antes.
Logo, o custo de produção com o tempo aumenta, entendeu?
Resumo da ópera: a curto prazo, os valores de vão crescer e, a longo prazo, eles vão decrescendo!
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁
Resposta
- A derivada indica o quanto o custo de produção varia com relação ao quilograma de ouro , em .
- é a taxa de variação do custo de produção do ouro, em , após a produção de de ouro.
- a curto prazo, os valores vão crescer (a mina começa a ser explorada a todo o vapor, conseguindo produzir muito ouro) e, a longo prazo, eles vão decrescendo (o ouro vai ficando mais difícil de ser encontrado e extraído na mina).