Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 47
Seja a temperatura (em ) em Seul horas após o meio-dia em de agosto de . A tabela mostra os valores dessa função registrados de duas em duas horas. Qual o significado de ? Estime o seu valor.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bom? Vamos para mais uma questão sobre derivadas! Aqui trabalharemos um pouco com interpretação e vamos ver como podemos aproximar uma derivada através de uma tabela.
Primeiramente, nos é perguntado o significado de . Sabemos que esse valor se trata de uma derivada – ele representa uma taxa de variação, mas qual?
Como representa a temperatura em e o tempo em horas, teremos que é a taxa de variação que representa como a temperatura está variando de acordo com o tempo após as horas da noite. Ah, e fica atento: a unidade dessa derivada é , tranquilo? Bora prosseguir!
Passo 2
Para estimar o valor de , iremos, primeiro, calcular a taxa média de variação entre os instantes de tempo e e depois entre e . A taxa média pode ser calculada através dessa fórmula aqui:
Ou seja, a variação de temperatura pela variação de tempo, beleza? Começando pela taxa média entre e :
Agora, calculando a taxa média entre e :
Pronto, temos essas duas taxas médias que, se pararmos para olhar, foram calculadas utilizando o ponto . Se tirarmos a média dessas duas taxas de variação (que são calculadas utilizando os pontos mais próximos que temos de ), teremos uma aproximação da taxa de variação instantânea ! Legal essa técnica de aproximação de derivada né? Olha só como vai ficar:
Pronto, matamos essa questão!
Resposta
é a taxa de variação que representa como a temperatura está variando de acordo com o tempo após as horas da noite.
Podemos estimar que a derivada vale, aproximadamente, .