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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 57

A quantidade de oxigênio que pode ser dissolvido em água depende da temperatura da água. (Logo, a poluição térmica influencia o nível de oxigênio da água.) O gráfico mostra como a solubilidade do oxigênio S varia em função da temperatura T da água.

  1. Qual o significado da derivada S ’ ( T ) ? Quais são suas unidades?
  2. Dê uma estimativa do valor S ’ ( 16 ) e interprete-o.

Passo 1

E aí! pessoal! Como vai? 😉

Nesse problema temos o gráfico de uma função que representa a solubilidade do oxigênio S varia em função da temperatura T da água e nosso objetivo é obter qual o significado de S ' T e estimar o valor de S ' 16 .

Lembra como fazemos isso? 😐

Bora matar mais uma questão sobre interpretação e estimação de derivada! Sigam-me os bons ;)

Passo 2

Bora relembrar (sempre!) o que significa uma derivada: é uma taxa instânea de variação e mostra como uma grandeza varia com relação à outra, fechou?

Esse conceito é fundamentalmente importante, então dorme pensando nele!

Como as nossas grandezas são a solubilidade S e a temperatura T , a nossa derivada S ' ( T ) diz o quanto a solubilidade, dada em m g / L , varia de acordo com a temperatura, em   o C .

Logo, a unidade da derivada será ( m g / L ) /   o C , beleza? Bora para a próxima!

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Podemos aproximar a derivada S ' ( 16 ) achando a taxa média de variação entre os pontos T = 8   o C e T = 16   o C , depois achando a taxa média entre T = 16   o C e T = 24   o C . Se pegarmos essas duas taxas (calculadas utilizando os pontos mais próximos que temos de T = 16   o C ) e tirarmos a média, teremos uma estimativa de S ' ( 16 ) .

Para calcular a taxa média m , usaremos essa fórmula aqui:

m = ∆ S ∆ T

Ou seja: a variação da solubilidade pela variação da temperatura, fechou?

Para os pontos T = 8   o C e T = 16   o C , teremos:

m = 10 - 12 16 - 8 = - 2 8 = - 0,25   ( m g / L ) /   o C

Agora, para os pontos T = 16   o C e T = 24   o C :

m = 8 - 10 24 - 16 = - 2 8 = - 0,25   ( m g / L ) /   o C

Tirando a média desses dois caras, teremos a noss estimativa de S ' ( 16 ) ! Saca só:

S ' 16 ≈ - 0,25 + - 0,25 2 = - 0,5 2

S ' 16 = - 0,25     ( m g / L ) /   o C

Pronto, achamos o valor da nossa derivada! Ele nos diz que que, após uma temperatura de 16   o C , a solubilidade da água para a diminuir 0,25   m g / L com o aumento de temperatura.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

  1. S ' ( T ) diz o quanto a solubilidade, dada em m g / L , varia de acordo com a temperatura, em   o C . A unidade é ( m g / L ) /   o C .

  2. S ' 16 ≈ - 0,25     ( m g / L ) /   o C

O valor nos diz que que, após uma temperatura de 16   o C , a solubilidade da água para a diminuir 0,25   m g / L com o aumento de temperatura.

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