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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 25

Se f x = a x ³ + b x ² , determine a   e   b ,   de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2).

Passo 1

Para determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = a x ³ + b x ²

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando f ' ' x :

6 a x + 2 b = 0

x = - 2 b 6 a

x = - b 3 a

Para que o ponto de inflexão seja (1, 2):

x = - b 3 a = 1

b = - 3 a

Substituindo em f x :

f 1 = a 1 3 - 3 a 1 2 = 2

- 2 a = 2

a = - 1

b = - 3 - 1 = 3

Então:

f x = - x ³ + 3 x ²

Resposta

a = - 1   e   b = 3

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f) g(x) = x 2 x 2 - 2
n) f(x) = x e 1 x
o) f x =x ln ⁡ x
j) x 4 -2 x 3 +2 x
h) f(x) = 1- e - x