o) f(x) = x \* ln(x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função! Para isso vamos usar a regra do produto,

f ' x = x ' ln ⁡ x + x ln ⁡ x '

f ' x = 1 . ln ⁡ x + x 1 x

f ´ x = ln ⁡ x + 1

Fazendo a segunda derivada ficamos com,

f ´ ´ ( x )   =   1 x

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos!

Passo 3

Repara que f ´ ´ ( x )   não existe em   x   ≠   0 , logo, esse é o único ponto crítico!

Antes de analisar o sinal da derivada, repara também que não podemos assumir valores negativos de x , por causa do domínio de f x = x l n ( x ) .

Com isso vamos analisar,

f ( x )   >   0   :   ( 0 ,   + ∞ )

Ou seja,

f ´ ´ x =   1 x > 0

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( 0 ,   + ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função não possui intervalos em que ela é côncava para baixo.

Não há pontos de inflexão.

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( 0 ,   + ∞ )

Não há pontos de inflexão.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados