f) g(x) = x^2 / (x^2 - 2)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

g ´ x =   2 x   x 2 -   2 - 2 x 3 x 2 - 2 2  

  g ´ ´ ( x )   =   - 4     x 2 - 2 2 + 16 x 2 x 2 - 2 x 2 - 2 4   =   12 x 2 + 8 x 2 - 2 3

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

g ´ ´ ( x )   =   0   →   x 2 -   2   =   0   →   x   =   - 2   e   x   =     2    

Logo,

g ´ ( x )   <   0   : ( -   2 ,     2   )

g ´ ( x )   >   0   :   ( - ∞ , -   2   )   U   ( 2 ,   + ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( - ∞ , -   2   )   U   ( 2 ,   + ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

( -   2 ,     2   )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso seriam - 2   e 2   . Mas como esses pontos não pertencem ao domínio da função (ficaria uma divisão por 0 ), não faz sentido dizer que eles são pontos de inflexão da função!

Só que, de fato, temos concavidades diferentes antes e depois desses pontos, beleza?

Resposta

côncava para cima no intervalo: (- , -   2   ) U ( 2 , + )

côncava para baixo no intervalo: ( -   2 ,     2   )

Pontos de inflexão: não há.

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