Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimitada pelos gráficos de y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a e x = b .]

Se

A = ∫ a b f x - g x d x

Então os gráficos de y = f ( x ) e y = g ( x ) não se cruzam em [ a , b ] .

Passo 1

Vamos refletir: A única forma para duas funções nunca se cruzarem é se sempre uma for maior que a outra:

f x > g ( x )

Ou:

g x > f ( x )

E a regrinha de achar a área entre curvas diz que:

A = ∫ a b f u n ç ã o   m a i o r - f u n ç ã o   m e n o r d x

Para que:

A = ∫ a b f u n ç ã o   m a i o r - f u n ç ã o   m e n o r d x = ∫ a b f x - g x d x

Ou

A = ∫ a b f u n ç ã o   m a i o r - f u n ç ã o   m e n o r d x = - ∫ a b f x - g x d x = ∫ a b g x - f x d x

É necessário que durante todo o intervalo, ou tenhamos f x > g ( x ) ou g x > f ( x ) . O que implica então que elas nunca se cruzam. Verdadeira a afirmação. 😊

Resposta

Verdadeira

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