Enunciado

Dê uma estimativa para o valor de k ( 0 < k < 1 ), tal que a região englobada por y = 1 / 1 - x 2 , y = x ,   x = 0 e x = k tenha uma área de 1   unidade.

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Podemos montar a integral e igualar a 1 , para descobrirmos o valor de k .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos usar um recurso gráfico para esboçar nossa região. Como 0 < k < 1 , sabemos que x = k está depois de x = 0 .

A gente percebe que como temos funções que variam em x , é melhor montarmos a integral em relação a esse eixo. Outra coisa que vemos é que nossa região é limitada por cima pela função y = 1 / 1 - x 2 (função maior) e por baixo pela função y = x (função menor). Aí integral fica com essa carinha:

A = ∫ x 1 x 2 1 1 - x 2 - x   d x

Passo 3

Pelo gráfico já dá para ver que nossos extremos de integração são x 1 = 0 e x 2 = k

Nossa integral fica:

A = ∫ 0 k 1 1 - x 2 - x   d x

Passo 4

A gente sabe pelo enunciado que A = 1 , então:

1 = ∫ 0 k 1 1 - x 2 - x   d x

Agora vamos calcular essa integral aí. Fica:

1 = a r c s e n   x - x 2 2   ​ 0 k = a r c s e n   k - k 2 2

Agora usamos um programa para resolver a equação:

a r c s e n   k - k 2 2 = 1

k ≈ 0,9973

Resposta

k ≈ 0,9973

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33. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região compreendida pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 3 - x 2 .
35. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região "triangular" no primeiro quadrante, limitada pelo eixo y , pela parábola y = x 2 / 4 e pela reta y = 4 .
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). i ) ρ = 2 - cos ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). g ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). o ) ρ = cos 2 ⁡ θ