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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 8

Suponha que f e f ' sejam de ordens exponencial γ 1 e γ 2 , respectivamente. Suponha, ainda, que f ' ' seja contínua. Verifique que

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 - f ' 0

Passo 1

Vamos aplicar o método de integração por partes em:

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t

u = e - s t → d u = - s e - s t d t

d v = f ' ' t d t → v = f ' t

Assim,

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = e - s t f ' t 0 ∞ - ∫ 0 + ∞ f ' t - s e - s t d t  

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = e - s ∙ ∞ f ' ∞ - e - s ∙ 0 f ' 0 - ∫ 0 + ∞ f ' t - s e - s t d t

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = f ' ∞ e s ∙ ∞ - 1 ∙ f ' 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = 0 - f ' 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t - f ' 0

Aplicando mais uma vez o método de integração por partes:

u = e - s t → d u = - s e - s t d t

d v = f ' t d t → v = f t

Logo,

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s e - s t f t 0 ∞ - ∫ 0 + ∞ f t - s e - s t d t - f ' 0

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s e - s ∙ ∞ f ∞ - e - s ∙ 0 f 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f ' 0

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s f ∞ e s ∙ ∞ - 1 ∙ f 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f ' 0

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 0 - f 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f ' 0

∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 - f ' 0

Fim!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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