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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 9

Suponha   F ( x ) crescente em [ a ,   + ∞ [ .   Prove que lim x → ∞ ⁡   F x   será infinito ou + ∞ .   Será finito e igual a s u p ⁡ { F x ; x ≥ a } se existir M > 0 tal que, para todo x ≥ a , F x ≤ M .

Passo 1

Considere a função f em questão, temos dois casos a considerar:

Se é limitada.

Ou seja, f x , y ≤ M   , par algum M > 0 e para todo x , y ∈ a ,   ∞ .   Então,

M   é uma cota superior para f x , y .   Por definição de supremo,

M ≤ sup ⁡ { f ( x , y ) ; x , y ∈ a , ∞ }

Logo,

0 ≤ | f x , y - sup ⁡ { f ( x , y ) } | ≤ | f x , y - M | + M - sup ⁡ f x , y  

Perceba que

f x , y ≤ M ⇒   f x , y - M ≤ 0    

E,

M ≤ sup ⁡ { f ( x , y ) } ⇒   M -   sup ⁡ { f ( x , y ) } ≤ 0    

Sendo assim, como o limite preserva ordem

lim x → ∞ ⁡   0 ≤   lim x → ∞ ⁡   | f x , y - sup ⁡ { f ( x , y ) } | ≤ lim x → ∞ ⁡ (   | f x , y - M | + M - sup ⁡ f x , y )

Pela nossa observação

lim x → ∞ ⁡   0 ≤   lim x → ∞ ⁡   | f x , y - sup ⁡ { f ( x , y ) } | ≤ lim x → ∞ ⁡ 0  

Pelo teorema do confronto,

lim x → ∞ ⁡   | f x , y - sup ⁡ { f ( x , y ) } | = 0

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ f x , y = sup ⁡ { f ( x , y )  

Se f é ilimitada. Então, para cada natural i , considere a sequencia f ( x i ,   y 1 ) . Temos que esta sequência é ilimitada e como f é crescente f ( x i ,   y 1 ) não converge. Ou seja,

l i m x → ∞ f x i ,   y 1 =   + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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