Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 2
Suponha integrável em , para todo , com em . Suponha que existem um real e uma função tais que, para todo , . Suponha além disso que ( real). Prove
- convergente
- divergente
Passo 1
Lembrando a definição de que se integrável em , para todo , se , a integral é divergente. Se ao invés disso o resultado for um número finito, a integral é convergente.
Passo 2
Resolvendo a “letra a”, vamos supor que a integral de , afinal, ele diz para gente provar que existe uma função , então, pode ser , certo? Nada nos impede kkk. Resolvendo a integral:
Então, se e aquele permanece no denominador! Logo, quando e:
Como é um número real, será um número real e, portanto, a integral converge!
Passo 3
Resolvendo a “letra b”. Pelo mesmo raciocínio, vamos parar no mesmo limite para :
Mas, agora, como , nós teremos um expoente em negativo, o que faz o ir para o numerador:
Dessa forma, quando e:
Como o limite deu , a integral diverge!
Passo 4
E para ? Teríamos isso:
E esse limite explode para o infinito também!! Logo, a integral também diverge!
Resposta
Explicação no passo a passo.