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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 7

Procedendo como no exercício anterior, determine f tal que:

  1. f ' t - 2 f t = cos ⁡ t e f 0 = 2 .
  2. f ' t + f t = e 2 t e f 0 = - 1 .

Passo 1

Vamos começar aplicando a mudança feita igual no exercício 6:

g s = ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t

Portanto,

f ' t - 2 f t = cos ⁡ t

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t - 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

Como ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0 :

s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0 - 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - 2 - 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

s - 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t + 2

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s - 2 ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t + 2

Vamos agora aplicar o método de integração por partes em:

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

Assim,

u = e - s t → d u = - s e - s t d t

d v = cos ⁡ t d t → v = sin ⁡ t

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = e - s t sin ⁡ t + ∫ sin ⁡ t s e - s t d t

Aplicando mais uma vez:

u = s e - s t → d u = - s 2 e - s t d t

d v = sin ⁡ t d t → v = - cos ⁡ t

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = e - s t sin ⁡ t + - cos ⁡ t s e - s t - ∫ s 2 e - s t cos ⁡ t d t

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t + s 2 ∫ e - s t cos ⁡ t d t = e - s t sin ⁡ t - cos ⁡ t s e - s t

1 + s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = e - s t sin ⁡ t - cos ⁡ t s e - s t

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = e - s t sin ⁡ t - cos ⁡ t s e - s t s 2 + 1 0 ∞

Agora vamos aplicar os limites de integração na resposta:

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = sin ⁡ ∞ - s cos ⁡ ∞ s 2 + 1 ∙ 1 e s ∙ ∞ - sin ⁡ 0 - s cos ⁡ 0 s 2 + 1 ∙ 1 e 0

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = sin ⁡ ∞ - s cos ⁡ ∞ s 2 + 1 ∙ 0 - 0 - s s 2 + 1

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t = s s 2 + 1

Substituindo na integral novamente:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s - 2 s s 2 + 1 + 2

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = s s 2 + 1 s - 2 + 2 s - 2

Aplicando o método de frações parciais

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = s s 2 + 1 s - 2 + 2 s - 2 = A s + B s 2 + 1 + C s - 2 + 2 s - 2

Logo, vamos encontrar essas constantes A , B e C :

s s 2 + 1 s - 2 = A s + B s 2 + 1 + C s - 2

s = A s + B s - 2 + C s 2 + 1

s = A s 2 - 2 A s + B s - 2 B + C s 2 + C

A + C s 2 + - 2 A + B s + - 2 B + C = s

Igualando os dois lados:

A + C = 0 → A = - C - 2 A + B = 1 - 2 B + C = 0 → B = C 2

- 2 - C + C 2 = 1

2 C + C 2 = 1 → 4 C + C 2 = 1

C = 2 5 ; B = 1 5 ; A = - 2 5

Assim,

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = - 2 s 5 + 1 5 s 2 + 1 + 2 5 s - 2 + 2 s - 2 = - 2 s 5 s 2 + 1 + 1 5 s 2 + 1 + 12 5 s - 2

Vamos agora encontrar f t , sabendo que:

∫ 0 + ∞ e - s t e a t d t = 1 s - a

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ a t d t = s s 2 + a 2

∫ 0 + ∞ e - s t sin ⁡ a t d t = a s 2 + a 2

Sabendo disso,

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = - 2 5 ∙ s s 2 + 1 + 1 5 ∙ 1 s 2 + 1 + 12 5 ∙ 1 s - 2

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = - 2 5 cos ⁡ t + 1 5 sin ⁡ t + 12 5 e 2 t

Prontinho!!!

Passo 2

Aplicando o mesmo método para a letra b.):

f ' t + f t = e 2 t

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t + ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s t e 2 t d t

Como ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0 :

s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0 + ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t

s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t + 1 + ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t

s + 1 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t - 1

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s + 1 ∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t - 1

Vamos agora aplicar uma mudança de variável para resolver a integral:

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t

Assim,

u = - s + 2 t

d u = - s + 2 d t

d u - s + 2 = d t

Substituindo na integral:

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = ∫ 0 + ∞ e u d u - s + 2

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = e u - s + 2 0 ∞

Revertendo para a variável original:

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = e - s + 2 t - s + 2 0 ∞

Agora vamos aplicar os limites de integração na resposta:

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = e - s + 2 ∞ - s + 2 - e - s + 2 ∙ 0 - s + 2

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = 1 - s + 2 e s - 2 ∞ - 1 - s + 2

∫ 0 + ∞ e - s + 2 t d t = 0 + 1 s - 2 = 1 s - 2

Substituindo na integral novamente:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s + 1 1 s - 2 - 1

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s - 2 s + 1 - 1 s + 1

Aplicando o método de frações parciais:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 s - 2 s + 1 - 1 s + 1 = A s - 2 + B s + 1 - 1 s + 1

Logo, vamos encontrar essas constantes A , B e C :

1 s - 2 s + 1 = A s - 2 + B s + 1

1 = A s + 1 + B s - 2

1 = A s + A + B s - 2 B

A + B s + A - 2 B = 1

Igualando os dois lados:

A + B = 0 → A = - B A - 2 B = 1

- B - 2 B = 1

- 3 B = 1

B = - 1 3 ; A = 1 3

Assim,

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 3 s - 2 - 1 3 s + 1 - 1 s + 1 = 1 3 s - 2 - 4 3 s + 1

Vamos agora encontrar f t , sabendo que:

∫ 0 + ∞ e - s t e a t d t = 1 s - a

Sabendo disso,

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 3 ∙ 1 s - 2 - 4 3 ∙ 1 s + 1

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = 1 3 e 2 t - 4 3 e - t

Prontinho!!!

Resposta

  1. = - 2 5 cos ⁡ t + 1 5 sin ⁡ t + 12 5 e 2 t
  2. 1 3 e 2 t - 4 3 e - t
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