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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 5

Seja f uma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial γ . Verifique que, para s > γ , ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t é convergente e que

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

Passo 1

Primeiro vamos provar que esa integral é convergente, como o exercício nos pediu! Sabemos belo exercício anterior que se f é de ordem exponencial então ele satisfaz...

f t ≤ M e γ t

Além disso, se f é de ordem exponencial, como provamos no exercício anterior, isso signigca também que...

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t   →         É   c o n v e r g e n t e .

Como o módulo envolvido nesse tipo de desigualdade, a ≤ b ,   implica que…

- b ≤ a ≤ b

Então é verdade que...

- M e γ t ≤ f t ≤ M e γ t

Derivando todos os lados com relação a t ...

- M γ e γ t ≤ f ' t ≤ M γ e γ t

Como γ é uma constante qualquer e M também, M γ acaba sendo uma outra constante qualquer que vou chamar de N :

- N e γ t ≤ f ' t ≤ N e γ t

Dessa forma...

f ' t ≤ N e γ t

Então, como N é constante, é também verdade dizer que f ' t é de ordem exponencial . Isso implica diretamente que a intgral...

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t   →         É   c o n v e r g e n t e .

Passo 2

Agora vamos tentar resolver essa integral e ver onde chegamos com isso.

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t

Como temos duas funções e - s t e f ' t uma boa opção para resolvermos essa integral é aplicando o método de integração por partes.

∫ u d v = v u - ∫ v d u

Aplicando o método de integração por partes temos:

u = e - s t → d u = - s e - s t d t

d v = f ' t d t → v = f t

Substituindo as novas variáveis na função:

∫ u d v = v u - ∫ v d u   →

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = e - s t f t 0 ∞ - ∫ 0 + ∞ f t - s e - s t d t     →

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = e - s t f t 0 ∞ + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t    

Repare que nos surgiu o termo e - s t f t 0 ∞ . Que tal o resolver separado?

Passo 3

Pra começar, antes de substituir os extremos do intervalo como fazemos sempre em uma integral definida, vamos transformar aquele ∞ em um b e jogar esse b no infinito através de um limite:

lim b → ∞ ⁡ e - s t f t 0 b

Fazemos isso para ficar mais presentável, não é mesmo? Substituindo então os extremos do intervalo em t (a variável que integramos)...

lim b → ∞ ⁡ e - s t f t 0 b = lim b → ∞ ⁡ e - s b f b - e 0 f 0

Como e 0 f 0 = f 0 (uma constante) pode sair do limite...

lim b → ∞ ⁡ e - s b f t 0 b = f 0 + lim b → ∞ ⁡ e - s b f b   →

lim b → ∞ ⁡ e - s b f t 0 b = f 0 + lim b → ∞ ⁡ f b e s b   →

Sabemos que f é de ordem exponencial, isto é...

- M e γ b ≤ f b ≤ M e γ b

Portanto...

- M e γ b e s b ≤ f b e s b ≤ M e γ b e s b       →

- M e s - λ b ≤ f b e s b ≤ M e s - λ b       →

Se s > λ , então s - λ > 0 . Aplicando o limite com b → ∞ ...

lim b → ∞ ⁡ - M e s - λ b ≤ lim b → ∞ ⁡ f b e s b ≤ lim b → ∞ ⁡ M e s - λ b

M é constante e a exponencial explode para o infinito, levando os dois limites na ponta para 0 :

0 ≤ lim b → ∞ ⁡ f b e s b ≤ 0     →

lim b → ∞ ⁡ f b e s b = 0

Portanto, concluímos que...

lim b → ∞ ⁡ e - s b f t 0 b = f 0 + lim b → ∞ ⁡ f b e s b =

f 0

Passo 4

Finalmete podemos retornar de onde paramos no passo 2:

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = e - s t f t 0 ∞ + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t    

Então, conclíremos que de fato...

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = f 0 + s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t    

Ou, se preferir...

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

Fim!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Procedendo como no exercício anterior, determine f tal que: f ' t - 2 f t = cos ⁡ t e f 0 = 2 . f ' t + f t = e 2 t e f 0 = - 1 .
SuponhaF ( x ) crescente em [ a ,+ ∞ [ . Prove que lim x → ∞ ⁡F x será infinito ou + ∞ . Será finito e igual a s u p ⁡ { F x ; x ≥ a } se existir M0 tal que, para todo x ≥ a , F x ≤ M .
Seja f contínua em [ 0 , t ] , para todo t0 , e suponha que existem constantes M0 e γ0 tais que, para todo t ≥ 0 , f t ≤ M e γ t Prove que ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t é convergente para sγ .Observação. Um
Suponha que f e g sejam funções contínuas e que 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) se x ≥ a . Dê um argumento informal razoável para explicar por que os seguintes argumentos são verdadeiros.(a)Se ∫ a + ∞ f x d x d