Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Se y = f(x) for uma função tal que dy/dx é uma função racional, então f(x) também é uma função racional

Passo 1

Falaaa aí abiguinho, a primeira coisa que vamos fazer é lembrar o que significa uma função ser racional.

Uma função é racional quando pode ser expressa como uma razão entre dois polinômios, por exemplo:

f x = 2 x 2 x + 1

Lembrando que uma função do tipo:

f x = 2 x 2

Também é racional, porque é como se o polinômio do denominador fosse 1 x 0

Passo 2

E aí, será que toda função que tem sua derivada racional, necessariamente é racional? Dá vontade de falar que não né hehe

O legal é que não precisamos demonstrar nosso pensamento, se simplesmente acharmos um contraexemplo já podemos falar que a afirmação é falsa.

Passo 3

Vem com calma e olha pra seguinte função:

f x = ln ⁡ x

Concorda que ela NÃO pode ser escrita como um quociente de dois polinômios, ou seja, NÃO é racional? Mas olha pra derivada dela:

f ' x = d y d x = 1 x

Opaaa, mas 1 / x   é uma função racional. Acabamos de achar um contraexemplo!

Então concluímos que se y   =   f ( x ) for uma função tal que d y / d x é uma função racional, então NÃO NECESSARIAMENTE f ( x ) também é uma função racional

Resposta

Afirmação Falsa

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados