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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 39 b

Encontre:

y = l o g_x 2

Passo 1

O raciocínio aqui é que sempre iremos transformar os termos em função do logaritmo natural.

E depois disso, resolver o exercício com diferenciação logarítmica.

O primeiro passo desse exercício é analisar a função e ver o que pode ser feito:

y = l o g_x 2

Temos que transformar a função em logaritmo natural.

Isso significa que iremos mudar a base para o valor de e (número de Euler). Vamos fazer com que a base e o logaritmando se transformem na fração de novos logaritimandos de base e .

Então, eu posso dizer que:

l o g_x e = (l o g_e 2)/(l o g_e x)

Logo:

l o g_x e = (l n ( 2 ))/(l n ( x )) = (1)/(ln (x)) . l n ( 2 )

Agora, podemos começar o processo de diferenciação.

Passo 2

Vamos diferenciar a função :

y = ln (2) . (1)/(l n ( x ))

Podemos retirar o l n ( 2 ) de dentro da derivada, pois se torna uma constante.

Aplicando a diferenciação em ambos os lados:

(d y)/(d x) = ln (2) . (d)/(d x) . [(1)/(l n ( x ))]

Para resolver essa derivada usamos a derivada do quociente :

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Onde:

f = 1

g = l n ( x )

Resolvendo:

(d y)/(d x) = (f^' g - g ' f)/(g^2) = ln (2) . (0 - ( (1)/(x) ))/((ln (x))^2)

(d y)/(d x) = ln (2) . (- 1)/(x . (ln (x))^2)

(d y)/(d x) = (- l n ( 2 ))/(x . (ln (x))^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (- l n ( 2 ))/(x . (ln (x))^2)

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