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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 20

Determine a aproximação linear da função f x , y = 1 - x y cos ⁡ π y em ( 1 ,   1 ) e use-a para aproximar o número f ( 1,02 ,   0,97 ) .

Passo 1

A questão pede para encontrar a aproximação linear da função f x , y = 1 - x y cos ⁡ π y no ponto x 0 , y 0 = ( 1 ,   1 ) e usar essa aproximação para estimar o valor da função em ( 1.02,0.97 ) . Em termos gerais, isso envolve linearizar a função ao redor de um ponto específico e usar essa linearização para fazer uma previsão sobre a função em um ponto próximo.

O que podemos fazer para resolver ?

  1. Para encontrar a proximação linear teremos que utilizar a equação do plano tangente

    2. L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

  2. Temos que encontrar f x e f y
  3. Substituir o ponto ( 1,1 ) nas derivadas e logo substituir na equação da reta tangente.

L x , y = f 1 ,   1 + f x 1 ,   1   x - 1 + f y 1 ,   1   ( y - 1 )

Agora podemos resolver! 😊

Passo 2

Para f x

d f d x = d d x 1 - x y cos ⁡ π y

Derivando de forma independente

d f d x = d d x 1 - d d x x y cos ⁡ π y

Na segunda derivada temos ( y cos ⁡ π y ) como termos fixos

d f d x = - y cos ⁡ π y d d x x

d f d x = - y cos ⁡ π y

Passo 3

Para f y

d f d y = d d y 1 - x y cos ⁡ π y

Derivando separadamente

d f d y = d d y 1 - d d y x y cos ⁡ π y

A primeira derivada é nula e a segunda derivada temos x como termo fixo, com isso a multiplicação ( y ∙ cos ⁡ π y ) indica uma Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Vamos resolver!

d f d y = - x d d y y cos ⁡ π y

u = y

u ' = 1

v = cos ⁡ π y

v ' = -   π ∙ s e n   π y

v x ∙ u x = u ' x ⋅ v x + u x ⋅ v ' x

1 ∙ cos ⁡ π y + y ∙ - π ∙ s e n   π y

cos ⁡ π y - y π ∙ s e n   π y

Voltando a equação

d f d y = - x cos ⁡ π y - y π ∙ s e n   π y

d f d y = - x cos ⁡ π y + x y π ∙ s e n   π y

Passo 4

Vamos agora substituir o ponto ( 1,1 ) nos termos da equação da reta tangente.

L x , y = f 1 ,   1 + f x 1 ,   1   x - 1 + f y 1 ,   1   ( y - 1 )

Para

f x 1 ,   1 = - cos ⁡ π = 1

f y 1 ,   1 = - cos ⁡ π + π   s e n   π = 1

f 1 ,   1 = 1 - cos ⁡ π = 2

Portanto,

L x , y = 2 + x - 1 + y - 1 =

L x , y = x + y

Desta forma, para f ( 1,02 ,   0,97 ) , temos

f 1,02 ,   0,97 ≈ L 1,02 ,   0,97 = 1,02 + 0,97

Logo,

f ( 1,02 ,   0,97 ) ≈ 1,99

Resposta

f ( 1,02 ,   0,97 ) ≈ 1,99

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