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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 50

Use a derivação implícita para encontrar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y .

y z + x ln ⁡ y = z 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular as derivadas implícitas ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y da equação:

y z + x ln ⁡ y = z 2

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular a derivada implícita de uma função implícita podemos usar uma formulinha bem interessante:

Dada uma equação f x , y , z = 0 , a derivada de z em função de x pode ser calculada por:

∂ z ∂ x = - f x f z

Ou seja, vamos passar todos os termos da equação para um lado e determinar a função f e assim derivar f parcialmente em relação às variáveis que queremos.

OBS: perceba que em ∂ z ∂ x = - f x f z as variáveis são cruzadas, ou seja, se quisermos a derivada de x em relação a y fazemos - f y / f x ...

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar montando nossa função f passando todos os termos da equação para um lado.

f x , y , z = y z + x ln ⁡ y - z 2 = 0

Agora para calcular ∂ z ∂ x vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e z .

Derivando f parcialmente em relação a x , consideramos y e z constantes...

f x = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ x = ln ⁡ y

Agora derivamos em relação a z ...

f z = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ z = y - 2 z

Substituindo na formulinha da derivação implícita...

∂ z ∂ x = - f x f z = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ x = ln ⁡ y 2 z - y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora queremos calcular ∂ z ∂ y . Então a formulinha fica:

∂ z ∂ y = - f y f z

Já temos f z calculado do passo anterior, mas ainda precisamos calcular f y .

Derivando f parcialmente em relação a y .

f y = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ y = z + x y

Substituindo na fórmula:

∂ z ∂ y = - f y f z = - z + x y y - 2 z

Multiplicando em cima e em baixo por y ...

∂ z ∂ y = z y + x 2 y z - y 2

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∂ z ∂ x = ln ⁡ y 2 z - y

∂ z ∂ y = x + z y y ( 2 z - y )

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