Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 9

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Fala ai meu caro amigo, vamos resolver essa questão juntos? Veja bem para saber se a série

Converge ou não nós precisamos aplicar algum método de teste de convergência. E qual o teste eu aplico para séries que possuem um elemento do tipo: Para essas séries é bastante adequado o teste de séries alternadas. Veja aqui comigo:

Se eu “criar” uma série associada à série alternada que quero investigar, de modo que minha série seja apenas os valores absolutos dos termos da série alternada, eu posso descobrir a convergência da série alternada ao analisar alguns critérios da série recém-criada. Veja:

Se a série alternada é . Então a série criada é , se for decrescente e tiver seu limite quando n. Então ambas as séries são convergente. Vamos ver na prática?

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

A série criada a partir da série acima não conterá os elementos responsáveis pela mudança do sinal. Pois estamos interessados apenas nos seus valores absolutos.

Temos que:

Vamos verificar as condições de convergência?

Podemos perceber que conforme o valor de tende ao infinito o denominador também aumenta rapidamente, enquanto o numerador permanece constante. Ou seja a série é decrescente e seu limite é .