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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 25

Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização L(x, y) da função em cada ponto.

f x , y = x 2 + y 2 + 1   e m

a ( 0,0 )

b ( 1,1 )

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O processo de linearização se dá por uma formula dada por:

L x , y = f X 1 , Y 1 + f x X 1 , Y 1 x - X 1 +   f y ( X 1 , Y 1 ) ( y - Y 1 )

No ponto:

P ( X 1 , Y 1 )

Dando nome aos bois,

f X 1 , Y 1 = f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P ( X 1 , Y 1 )

f x X 1 , Y 1 = d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   x   d a   f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 .  

f y X 1 , Y 1 = d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   y   d a   f u n ç ã o   f x , y   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 .  

Passo 2

Show, agora vamos calcular cada um e aplicar para a linearização. Primeiro, no item a:

P X 1 , Y 1 = ( 0,0 )

f x , y = x 2 + y 2 + 1

Logo,

L x , y = f X 1 , Y 1 + f x X 1 , Y 1 x - X 1 +   f y ( X 1 , Y 1 ) ( y - Y 1 )

L x , y = 1 + 0 x - 0 + 0 y - 0

L x , y = 1

Agora fazendo para o item b),

P X 1 , Y 1 = ( 1 , 1 )

f x , y = x 2 + y 2 + 1

Logo,

L x , y = f X 1 , Y 1 + f x X 1 , Y 1 x - X 1 +   f y ( X 1 , Y 1 ) ( y - Y 1 )

L x , y = 3 + 2 x - 1 + 2 y - 1

L x , y = 2 x + 2 y - 1

E é isso meus queridos, até a próxima!

Resposta

a ) L x , y = 1

b ) L x , y = 2 x + 2 y - 1

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