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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 18

Verifique a aproximação linear em 0,0 .

y + cos 2 ⁡ x ≈ 1 + 1 2 y

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão também não tem mistério.

Vamos chamar o lado esquerdo da nossa expressão de f x , y , ou seja,

f x , y = y + cos 2 ⁡ x

Dada essa função f , a questão quer que a gente verifique que a sua aproximação linear no ponto ( 0,0 ) é

L x , y = 1 + 1 2 y  

Assim, para resolver essa questão nós precisamos lembrar como se determina a aproximação linear de uma função de f duas variáveis.

Tranquilo? Vem comigo que eu te explico!

Passo 2

Dada uma função

f x , y = y + cos 2 ⁡ x

a sua aproximação linear no ponto x 0 ,   y 0 é dada por

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Daí vemos que precisamos calcular três coisas: f x 0 , y 0 ,   f x x 0 , y 0   e f y ( x 0 , y 0 ) .

No nosso caso, calcularemos f 0,0 ,   f x 0,0   e f y ( 0,0 ) .

Começando por f 0,0 .  

f 0,0 = 0 + cos 2 ⁡ 0 = 1

Agora precisamos calcular as derivadas de primeira ordem da função.

Veja que tem uma função dentro da raiz quadrada, então precisaremos da regra da cadeia...

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y + cos 2 ⁡ x

∂ f ∂ x = 1 2 y + cos 2 ⁡ x ⋅ ∂ ∂ x y + cos 2 ⁡ x

Derivando, obtemos

∂ f ∂ x = 1 2 y + cos 2 ⁡ x ⋅ 2 cos ⁡ x ⋅ ( - sen ⁡ x )

Reconhecemos 2 cos ⁡ x sen ⁡ x = sen ⁡ 2 x , então:

∂ f ∂ x = - sen ⁡ 2 x 2 y + cos 2 ⁡ x

Agora substituímos o ponto ( 0,0 ) :

∂ f ∂ x 0,0 = - sen ⁡ 2 ⋅ 0 2 0 + cos 2 ⁡ 0 = 0

Agora derivamos com relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y + cos 2 ⁡ x

∂ f ∂ y = 1 2 y + cos 2 ⁡ x ⋅ ∂ ∂ y y + cos 2 ⁡ x

Derivando com relação a y , o termo com o cosseno se anula, logo

∂ f ∂ y = 1 2 y + cos 2 ⁡ x

Substituindo o ponto 0,0 :

∂ f ∂ y 0,0 = 1 2 0 + cos 2 ⁡ 0 = 1 2

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse 0,0 . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para y > - cos 2 ⁡ x . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 0,0 .

Passo 3

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 0,0 , basta a equação para L ( x , y ) mostrada no passo anterior:

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

L x , y = f 0,0 ⏟ 1 + ∂ f ∂ x 0,0 ⏟ 0 ∙ x - 0 + ∂ f ∂ y 0,0 ⏟ 1 / 2 ∙ y - 0

L x , y = 1 + 1 2 y

Resposta

A linearização  L x , y = 1 + 1 2 y   está correta

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