Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.

21. A(1,0), B(3,6), C(-1,4)

Passo 1

Primeiro nós precisamos calcular o módulo dos lados desse triângulo:

A B = ( 3 - 1 ) 2 + 6 - 0 2   = 40 = 2 10

B C = - 1 - 3 2 + 4 - 6 2   = 20 = 2 5

A C = - 1 - 1 2 + 4 - 0 2 = 20 = 2 5

Beleza! Agora usando as coordenadas dos vértices, nós podemos determinar os vetores que compõem esse triângulo:

A B → = 3 - 1,6 - 0 = ( 2,6 )

C B → = 3 - - 1 , 6 - 4 = ( 4,2 )

A C → = - 1 - 1,4 - 0 = ( - 2,4 )

Quase lá! Pela fórmula do produto escalar, conseguimos achar os ângulos:

cos ⁡ ∠ A = A B → . A C → A B A C = - 4 + 24 2 10   .   2 5 = 5 50 = 1 2  

∠ A = 45 °

cos ⁡ ∠ B = A B → . C B → A B C B = 8 + 12 2 10   .   2 5 = 5 50 = 1 2  

∠ B = 45 °

cos ⁡ ∠ C = C B → . A C → C B A C = - 8 + 8 2 5   .   2 5 = 0  

∠ C = 90 °

Show! Então ∠ A = 45 ° , ∠ B = 45 ° e ∠ C = 90 ° .

Resposta

∠ A = 45 ° , ∠ B = 45 ° e ∠ C = 90 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados