Encontre o polinômio de Taylor Tn(x) para a função f em a . Plote f e T_n na mesma tela.

f(x) = sen(x), a = pi / 6, n = 3

Passo 1

Bom, vamos começar relembrando o que é um polinômio de Taylor. Ele consiste em nada mais e nada menos que um polinômio obtido através do truncamento da série de Taylor. Logo,

T n x = ∑ i = 0 n f i a i !   x - a i

Como a questão nos disse que a = π / 6 e n = 3 , o nosso polinômio será:

T 3 x = f 0 π 6 0 ! x - π 6 0 + f 1 π 6 1 ! x - π 6 1 + f 2 π 6 2 ! x - π 6 2 + f 3 π 6 3 ! x - π 6 3

Temos agora que descobrir quem são essas derivadas da nossa função!

Passo 2

Como já montamos a função T 3 x , só nos faltou descobrir as derivadas da nossa função aplicada no ponto a = π / 6 . Sendo assim, vamos calcular estas derivadas!

f x = sen ⁡ x ⟹ f π 6 = 1 2

f ' x = cos ⁡ x ⟹ f ' π 6 = 3 2

f ' ' x = - sen ⁡ x ⟹ f ' ' π 6 = - 1 2

f 3 x = - cos ⁡ x ⟹ f 3 π 6 = - 3 2

Portanto, o nosso polinômio é:

T 3 x = 1 2 1 x - π 6 0 + 3 2 1 x - π 6 1 + - 1 2 2 x - π 6 2 + - 3 2 6 x - π 6 3

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 1 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3

E é isso ai!

Passo 3

Agora que obtivemos o nosso polinômio de Taylor, vamos fazer seu plot e comparar com a função original. Utilizando softwares para nos auxiliar, temos:

Resposta

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 1 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3

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