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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 4b

Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares

b )   ρ = sin ⁡ θ   e   ρ = 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Primeiro devemos achar os pontos de intersecção das funções:

sin ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ

Esse é um caso um pouco mais chato, mas se pegarmos desenharmos fica fácil ver que eles se encontram junto quando θ = 0   e   θ = π 2   e   θ = π

Queremos a área em comum entre as duas equações e pra isso temos que calcular a área delas porém não faz sentido calcular duas vezes, se não estamos calculando em excesso.

Pra que funcione bem vamos pegar uma área que vem de uma delas num dado intervalo somado com a área da outra função no resto do intervalo.

Como vimos no desenho, as intersecções vão rolar durante o intervalo 0 ,   π , porém olhando pro gráfico, vemos que é mais fácil calcular a área da função   ρ = 1 - cos ⁡ θ no intervalo 0 , π 2 e que é mais fácil calcular a área de ρ = sin ⁡ θ no intervalo π 2 ,   π . Assim, vamos calcular as áreas e teremos um desenho assim:

Passo 2

Daí calculamos cada área:

Á r e a   1 = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ

E

Á r e a   2 = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ π 2 π sin ⁡ θ 2 d θ

Agora vamos calcular cada área e depois somamos:

Á r e a   1 = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

1 2 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ =

1 2 × π 2 - sin ⁡ θ π 2 0 + 1 2 ∫ 0 π 2 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = π 4 - 1 + 1 4 θ + sin ⁡ 2 θ 2 π 2 0 =

π 4 - 1 + 1 4 π 2 = π 4 - 1 + π 8 = 3 π 8 - 1

Á r e a   2 = 1 2 ∫ π 2 π ( s e n   θ ) 2 d θ = 1 2 ∫ π 2 π 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

Faremos a substituição: sin 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) e em seguida u = 2 θ → d u = 2 d θ

1 8 ∫ π 2 π 1 - cos ⁡ u d u = 1 8 u - sin ⁡ u 2 π π = 1 8 2 π - π = π 8

Passo 3

Agora somamos:

3 π 8 - 1 + π 8 = π 2 - 1 = π - 2 2

Resposta

Á r e a = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ + 1 2 ∫ π 2 π sin ⁡ θ 2 d θ = π - 2 2

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